Số phức z thỏa mãn z-2i/z-2 là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đặt z = a + bi với a,b∈R

Khi đó

z-2iz-2=a+b-2ia-2+bi=a+b-2ia-2-bia-22+b2=aa-2+bb-2a-22+b2+a-2b-2-aba-22+b2

z-2iz-2 là số ảo khi và chỉ khi 

aa-2+bb-2a-22+b2=0⇔a2+b2=2a+ba-22+b2≠0

Ta có

P=z-1+z-i=a-1+bi+a+b-1i=a-12+b+a2+b-12=a2+b2-2a+1+a2+b2-2b+1=2a+b-2a+1+1a+b-2a+1=1+2b+1+2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2a+b=a2+b2≥12a+b2

Suy ra a+b≤4

Do đó P2≤22+2a+b≤20⇔P≤25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy maxP = 25 đạt được khi z = 2 + 2i

Đáp án C