Số nguyên dương n bé nhất sao cho trong khai triển ( x + 1 ) n có hai hệ số liên tiếp nhau có tỷ số là 7 15 , là:

Ta có \({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\).

Hệ số của số hạng thứ \(k\) và \(k + 1\) theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},C_n^k\) với \(1 \le k \le n;\,\,k,n \in \mathbb{N}\).

Theo giả thiết ta có:

\(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7\left( {n - k + 1} \right) \Leftrightarrow 22k = 7\left( {n + 1} \right)\).

Do \(\left( {22;7} \right) = 1\) nên \(n + 1\) chia hết cho 22. Vậy \(n = 22m - 1,m \in \mathbb{N}\).

Vây số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21. Chọn A.