Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(2f(\sin x) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(\sin x) = - \frac{3}{2}\quad (*)\) có nghiệm trên [–π; 2π]

⇔ Đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại các điểm trên [–π; 2π]

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in [ - \pi ;2\pi ] \Rightarrow t \in [ - 1;1]\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại hai điểm phân biệt

Ta có \((*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = {t_1} \in (0;1)}\\{\sin x = {t_2} \in ( - 1;0)}\end{array}} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại hai điểm phân biệt trong [–π; 2π]

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại bốn điểm phân biệt trong [–π; 2π]

Như vậy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại 6 điểm phân biệt trên [–π; 2π]

Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Vậy đáp án cần chọn là B.