Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình căn bậc ba 25x ( 2x^2 + 9 ) lớn hơn bằng 4 + 3/x

Phương pháp giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh VP ≤ ≤ VT.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

     \[4x + \frac{3}{x} = \frac{5}{3}x + \frac{5}{3}x + \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{5}{3}x \cdot \frac{5}{3}x \cdot \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}}.\]

Dấu “=” xảy ra khi:

         \[\frac{5}{3}x = \frac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow 5{x^2} = 2{x^2} + 9 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .\]

Suy ra:

                          \[4x + \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x > 0,\]

nên bất phương trình đã cho \textbf{không có nghiệm với \(x > 0\)}.

Xét \(x < 0\).

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

                       \[ - 4x - \frac{3}{x} \ge \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0,\]

nên:

                          \[4x + \frac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x(2{x^2} + 9)}},\quad \forall x < 0.\]

Bất phương trình đúng với mọi \(x < 0\) nhưng không có nghiệm nguyên dương.

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: \[0.\]

Chọn A.