Số nghiệm của phương trình x^3 + 2x = 4 + căn bậc hai của (3 − 2x) là:
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(x \le \frac{3}{2}\). Phương trình \({x^3} + 2x - 4 - 3\sqrt {3 - 2x} = 0\).
Ta có hàm số f(x) =\({x^3} + 2x - 4 - 3\sqrt {3 - 2x} \) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right]\)
Ta có: f(0) < 0, \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( {\frac{3}{2}} \right) < 0\) nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình có 2 nghiệm a, b và f(a) – f(b) = 0
\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }}} \right) = 0\)
Do \({a^2} + ab + {b^2} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }}\)
\( = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }} > 0\) với "a, b < \(\frac{3}{2}\) a = b.
Vậy phương trình có đúng một nghiệm nên hàm số liên tục trên khoảng (0; +).