Số nghiệm của phương trình x^2 = {ln}( {2{x^2}{ln}}x + e})\) là

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{2{x^2}{\rm{ln}}x + e > 0}\end{array}} \right.\)(*)

Ta biến đổi phương trình đã cho:

\({x^2} = {\rm{ln}}\left( {2{x^2}{\rm{ln}}x + e} \right)\)

\( \Rightarrow {e^{{x^2}}} = 2{x^2}{\rm{ln}}x + e\)

\( \Rightarrow {e^{{x^2}}} - {x^2}{\rm{ln}}\left( {{x^2}} \right) - e = 0\,\,(x > 0)\)(2)

Xét \(f\left( t \right) = {e^t} - t{\rm{ln}}t - e,t > 0\). Có \(f'\left( t \right) = {e^t} - \left( {{\rm{ln}}t + 1} \right) = \left( {{e^t} - 1} \right) - {\rm{ln}}t > 0\forall t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left( 1 \right) = {e^1} - e{\rm{ln}}1 - e = 0\) nên khi đó \(t = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(f\left( t \right) = 0\).

Khi đó, \(\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1\left( l \right)}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).