Số nghiệm của phương trình (sinx.sin2x+2sinx.cos^2x+sinx+cosx)/(sinx+cosx)=căn 3.cos2x trong khoảng là:

Chọn A

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos

Giải phương trình và tìm ra các giá trị k nguyên thỏa mãn

Giải chi tiết:

ĐK: sinx+cosx≠0⇔x≠−π4+kπ. Ta có:

sinx.sin2x+2sinx.cos2x+sinx+cosxsinx+cosx=3cos2x
⇔sinx.sin2x+sin2x.cosx+sinx+cosxsinx+cosx=3cos2x
⇔sin2x(sinx+cosx)+(sinx+cosx)sinx+cosx=3cos2x
⇔(sinx+cosx)(sin2x+1)sinx+cosx=3cos2x
⇔sin2x+1=3cos2x
⇔32cos2x−12sin2x=1
⇔cos2x+π6=12
⇔2x+π6=±π3+k2π
⇔x=π12+kπ(tm)x=−π4+kπ(ktm)

Với k nguyên, ta có −4<π12+kπ<4⇔k∈{−1;0;1}.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.