Số nghiệm của phương trình sin ( 2x − 40 độ ) = √ 3 /2 với − 180 độ ≤ x ≤ 180 độ là bao nhiêu?

Ta có :

\[\begin{array}{l}\sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {{40}^0}} \right) = \sin {60^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {40^0} = {60^0} + k{360^0}\\2x - {40^0} = {180^0} - {60^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = {100^0} + k{360^0}\\2x = {160^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {50^0} + k{180^0}\\x = {80^0} + k{180^0}\end{array} \right.\end{array}\]

Xét nghiệm \[x = {50^0} + k{180^0}\].

Ta có : \[ - {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {50^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{23}}{{18}} \le k \le \frac{{13}}{{18}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {130^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {50^0}\end{array} \right.\].

Xét nghiệm \[x = {80^0} + k{180^0}\].

Ta có : \[ - {180^0} \le x \le {180^0} \Leftrightarrow - {180^0} \le {80^0} + k{180^0} \le {180^0} \Leftrightarrow - \frac{{13}}{9} \le k \le \frac{5}{9}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[\left[ \begin{array}{l}k = - 1 \Rightarrow x = - {100^0}\\k = 0 \Rightarrow x = {80^0}\end{array} \right.\].

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán.