Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ||z|+2i| = |z(1+i)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z-4i|+2|z+3-i|. (ảnh 1)

Từ giả thiết, ta có: \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = |z|.|1 + i|\).

Suy ra \(\sqrt {|z{|^2} + 4} = \sqrt 2 |z| \Leftrightarrow |z{|^2} + 4 = 2|z{|^2} \Leftrightarrow |z| = \sqrt 2 \).

Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó M nằm trên đường tròn (C) tâm O, bán kính 2. Suy ra \({a^2} + {b^2} = 4\).

Gọi A(0; 4) là điểm biểu diễn số phức 4i; B(-3; 1) là điểm biểu diễn số phức -3 + i.

Ta có: \(|z - 4i| = |\overrightarrow {AM} | = MA\); \(|z + 3 - i| = |z - ( - 3 + i)| = |\overrightarrow {BM} | = MB\)

Suy ra \(P = |z - 4i| + 2|z + 3 - i| = MA + 2MB\).

Gọi C(0; 1) là điểm biểu diễn số phức i. Ta chứng minh MA = 2MC. Thực vậy: \(MA = 2MC \Leftrightarrow A{M^2} = 4C{M^2} \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 4)^2} = 4[{a^2} + {(b - 1)^2}]\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 16 - 8b = 4({a^2} + {b^2} + 1 - 2b) \Leftrightarrow 20 - 8b = 4(5 - 2b)\).

Điều này là đúng.

Do đó: \(P = 2MC + 2MB \ge 2BC = 6\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M = {M_0}\) : giao điểm của đoạn thẳng BC với đường tròn (C).

Dễ thấy \({M_0}( - \sqrt 3 ;1)\) và tương ứng với số phức \(z = - \sqrt 3 + i\).

Vậy Min P = 6 và đạt được tại \(z = - \sqrt 3 + i\).

Số nghiệm của phương trình \[{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + 1} \right) = 1\] là: