Số nghiệm của phương trình căn (x+4−4 căn x)−căn (x+9−6 căn x)=1(∗).

- Điều kiện: \[x \ge 0\]

- Mặt khác, ta thấy: \[\sqrt {x + 4 - 4\sqrt x } - \sqrt {x + 9 - 6\sqrt x } = \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}} \] nên ta có: \[\left( * \right) \Leftrightarrow \left| {\sqrt x - 2} \right| - \left| {\sqrt x - 3} \right| = 1\,\] (**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+ Trường hợp 1: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 \ge 0\\\sqrt x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 9\] ta có:

\[\left( {**} \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 2 - \sqrt x + 3 = 1 \Leftrightarrow 0.\sqrt x = 0\]

⇒ Phương trình có vô số nghiệm \[x \ge 9\].

+ Trường hợp 2: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 \ge 0\\\sqrt x - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x < 9\] ta có:

\[\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {3 - \sqrt x } \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 9\]

⇒ Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa mãn nên loại.

+ Trường hợp 3: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 < 0\\\sqrt x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset \].

+ Trường hợp 4: Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 < 0\\\sqrt x - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 4\] ta có:

\[\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {3 - \sqrt x } \right) = 1 \Leftrightarrow 0.\sqrt x = 2\]

⇒ Phương trình có vô nghiệm.

Vậy phương trình có vô số nghiệm khi \[x \ge 9\].