Số nghiệm của phương trình c o s 2 ( x + π 3 ) + 4 c o s ( π 6 − x ) = 5 2 thuộc [ − π ; π ] là

Giải thích

Ta có: \({\rm{cos}}2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\).

Phương trình đã cho tương đương

\(1 - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - 2{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + \frac{3}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}(L)}\\{\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.} \right.\)

Xét \( - \pi  \le  - \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6}\).

Xét \( - \pi  \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).

 Chọn A