Số nghiệm của phương trình 3 cos ^2 x - sin x / cos ^2 - sin ^2 x - 2- cos x / cos 2 x + sin x = 2
Phương pháp giải:
Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.
Giải chi tiết:
Biến đổi phương trình đã cho:
\[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]
\[ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\]
\[ \Leftrightarrow ({\cos ^2}x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\]
\[ \Leftrightarrow ( - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\quad (k \in \mathbb{Z})\]
Đếm nghiệm trong \((0;2024\pi )\):
\[0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]
\[0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]
\[0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]
\[0 < k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1011{\rm{ nghi?m}}\]
Tổng số nghiệm là:
\[1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047.\]