Số nghiệm của phương trình \(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) là bao nhiêu?

Đáp án: 4.

\(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - \cos 2x\left( {2\cos 2x + 5} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x - 5\cos 2x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\)

mà \(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow x = \left\{ {\left. {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}} \right.\). Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\).