Số hạng chứa x^2 trong khai triển (1/x +x^3)^n + 1 với x khác 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3C n + 1^2 + nP2 = 4An^2.

32/38

Số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].

\[4{x^2}\];

\[4\];

\[6{x^2}\];

\[4.\frac{1}{{{x^2}}}\].

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình:

\[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\]

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Với \[n = 3\], ta có:

\[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]

\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]

\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].

Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].