Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 ∘ Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số d ( t ) = 3 sin [ π /182 ( t − 80 ) ] + 12 với t ∈ Z và
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
a) Ta có: \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\]
\[ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3\]
\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15\].
Do đó, tập giá trị của hàm số \[d\left( t \right)\] là \[\left[ {9;15} \right].\]
b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:
\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \] \[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]
Với \[k = 0\] thì \[t = 80 + 182.0 = 80;\]
Với \[k = 1\] thì \[t = 80 + 182.1 = 262.\]
Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.
c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì
\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k = 1\].
Với \[k = 1\] thì \[t = - 11 + 364 = 353.\]
Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.
d) Thay \[t = 107\] vào \[d\left( t \right)\], ta được \[d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13,3\] giờ.
Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.