Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Ta có: y=x3−mx2+m−6x+1⇒y'=3x2−2mx+m−6.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) thì y'≤0 ∀x∈0;2 và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

⇒3x2−2mx+m−6≤0 ∀x∈0;2.

Ta có Δ'=m2−3m−6=m2−3m+18>0 ∀m nên phương trình 3x2−2mx+m−6=0 có 2 nghiệm phân biệt x1<x2. Khi đó ta có 3x2−2mx+m−6≤0⇔x∈x1;x2.

Do đó để 3x2−2mx+m−6≤0 ∀x∈0;2 thì 0;2⊂x1;x2⇒x1≤0<2≤x2.

x1≤0<x2x1<2≤x2⇔x1x2≤0x1−2x2−2≤0

⇔m−63≤0m−63−2.2m3+4≤0⇔m≤6m−6−4m+12≤0

 

⇔m≤6−3m+6≤0⇔2≤m≤6

 

Mà m∈ℤ⇒m∈2;3;4;5;6.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn C.