Số giá trị nguyên của tham số m thuộc [ - 25;25] để hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 2 có cực đại và cực tiểu?

Phương pháp giải

Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\mkern 1mu} (a \ne 0)\) có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 2\)

\(y' = 3{x^2} - 6x + m\; \Rightarrow \;y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m = 0\;(*)\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu \( \Leftrightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z};\;m \in [ - 25;25]\)\( \Rightarrow m \in \{  - 25, - 24, \ldots ,2\} .\)

Vậy có 28 giá trị nguyên của m thỏa mãn.