Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( x + 1 ) ( x − 3 ) + √ 8 + 2x − x^2 = 2m có nghiệm là

Điều kiện: \(8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} \). Ta có \(\sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  \le 3 \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\).

Phương trình đã cho trở thành: \( - {t^2} + t + 5 = 2m{\rm{\;}}\) (1).

Để phương trình đã cho có nghiệm thì (1) phải có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (1) có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\) khi

\( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Mà \(m\) là số nguyên nên có 3 giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn A.