Số giá trị nguyên của tham số m [ - 10;10] để bất phương trình 4sin ^2x - 4cos x nhỏ hơn bằng 4m^2 - 4m + 5 nghiệm đúng với mọi x thuộc [ 0; pi] là A. 21 B. 20 C. 17 D. 18

43/50

Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\cos x \le 4{m^2} - 4m + 5\)nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) là

\(21.\)

\(20\).

\(17\).

\(18\).

Giải thích

Lời giảiChọn A\(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}x - 4\cos x = - 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 4\)Đặt \(t = c{\rm{os}}x\) ,\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\(f\left( t \right) = - 4{t^2} - 4t + 4\)\(f'\left( t \right) = - 8t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\)Bảng biến thiên

\(t\)	\( - 1\)		\( - \frac{1}{2}\)		\(1\)
\(f'\left( t \right)\)	\|	\( + \)	\(0\)	\( - \)	\|
\(f\left( t \right)\)			\(5\)
\(f\left( t \right)\)	\(4\)				\( - 4\)

Khi đó :\(4{m^2} - 4m + 5 \ge f\left( t \right)\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 5 \ge 5\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 10;0} \right] \cup \left[ {1;10} \right]\)Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên có 21 giá trị thỏa mãn .