Số giá trị nguyên của m để hàm số y = √ 1 − m^2 + 2 m sin x xác định trên đoạn [ 0 ; pi/2 ] là:

Giải chi tiết:

Hàm số xác định khi:

\[1 - {m^2} + 2m\sin x \ge 0,\] \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Tương đương:

       \[2m\sin x \ge {m^2} - 1,\] \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].{\rm{ }}\left( * \right)\]

Trường hợp 1: \(m > 0\).

Từ \((*)\) suy ra:

      \[\sin x \ge \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\] \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Vì \(\sin x \in [0;1]\), nên cần có:

  \[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \le 0\; \Leftrightarrow \;{m^2} - 1 \le 0\; \Leftrightarrow \;0 < m \le 1.\]

Trường hợp 2: \(m < 0\).

Từ \((*)\) suy ra:

       \[\sin x \le \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}},\] \[\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\]

Vì \(\sin x \le 1\), nên cần có:

\[\frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \ge 1\; \Leftrightarrow \;{m^2} - 1 - 2m \le 0\; \Leftrightarrow \;1 - \sqrt 2 \le m < 0.\]

Trường hợp 3: \(m = 0\).

Khi đó:

                                                       \[y = \sqrt 1 ,\]

hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Kết hợp các trường hợp, ta được:

                                               \[1 - \sqrt 2 \le m \le 1.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là:

                                                     \[m = 0,\;m = 1.\]

Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\).

Đáp án cần chọn: B.