Số giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = f ( x ) có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành là

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2mx - {m^2},\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{x = - \frac{m}{3}}\end{array}} \right.\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \ne 0\).

Trường hợp 1: \(m > 0 \Rightarrow {f_{CT}} = f\left( m \right) = - {m^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Vậy \(0 < m < 2 \Rightarrow \) có 1 giá trị nguyên \(m = 1\).

Trường hợp 2: \(m < 0 \Rightarrow {f_{CT}} = f\left( { - \frac{m}{3}} \right) = \frac{5}{{27}}{m^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{6}{{\sqrt[3]{5}}}\).

Vậy \( - \frac{6}{{\sqrt[3]{5}}} < m < 0 \Rightarrow \) có 3 giá trị nguyên của \(m\) là \(\left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\).

Vậy tổng số có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn. Chọn C.