Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = {1}{4}{x^4} + mx - 3/2x

23/235

Số giá trị nguyên âm của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ là:

10.

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng định lý mở rộng về quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm: Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc $K$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$ khi và chỉ khi $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc $K$.

Lời giải

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

$y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}$

$y' = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}$

Để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x - m$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì $y' \ge 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \ge - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Xét hàm số $g\left( x \right) = - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$

$g'\left( x \right) = - 3{x^2} + \frac{3}{{{x^3}}}$

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

BBT

$Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = {1}{4}{x^4} + mx - 3/2x (ảnh 1)$

Dựa vào BBT, ta có $m \ge - {x^3} - \frac{3}{{2{x^2}}}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge - \frac{5}{2}$. Do $m$ nguyên âm nên có 2 giá trị của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.