Số điểm cực trị của hàm số y = f(x^2 - 2x) là

Lời giải

Với \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\), ta có \(y' = 2\left( {x - 1} \right) \cdot f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = a \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right)\\{x^2} - 2x = b \in \left( { - 1;\,0} \right)\\{x^2} - 2x = c \in \left( {0;\,1} \right)\\{x^2} - 2x = d \in \left( {1;\, + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - a = 0,\,a \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right)\,\,\,(1)\\{x^2} - 2x - b = 0,\,b \in \left( { - 1;\,0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\{x^2} - 2x - c = 0,\,c \in \left( {0;\,1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\{x^2} - 2x - d = 0,\,d \in \left( {1;\, + \infty } \right)\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\).

Phương trình \((1)\) vô nghiệm, các phương trình \((2),\,(3),\,(4)\) đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và do \(b,\,c,\,d\) đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình \((2),\,(3),\,(4)\) cũng đôi một khác nhau. Do đó \(f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\) có 6 nghiệm phân biệt.

Vậy \(y' = 0\) có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là 7. Chọn C.