a) Ta có \[P = \sin 2\left( {\alpha + \pi } \right) = \sin \left( {2\alpha + 2\pi } \right) = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \].

Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], suy ra \[\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}\].

Do \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] nên ta chọn \[\cos \alpha = - \frac{3}{5}\].

Thay \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\] và \[\cos \alpha = - \frac{3}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = 2.\frac{4}{5}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}\).

b) \(\sin 2x + \sqrt 2 \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos x\left( {\sqrt 2 \sin x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sqrt 2 \sin x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

Trong khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right)\) có ba nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{2};\,\,x = - \frac{\pi }{4};\,\,x = - \frac{{3\pi }}{4}\)

Khi đó tổng các nghiệm trên khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right)\) là

\(\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \frac{{3\pi }}{2}.\)

c) Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó \[x = 0,\] ta có

\(2{\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\)

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là \(0 \le t \le 6\) hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6\)

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin x = 4/ 3 trên đường tròn lượng giác là