Số các giá trị nguyên của m để f^2(x) < 36 là? (nhập đáp án vào ô trống )

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Đổi biến, đặt \(t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Lời giải

Ta có \(y = \left( {1 + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right){\rm{cos}}x + \left( {1 + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right){\rm{sin}}x - 1 - {\rm{sin}}2x + 2m\)

\( = \cos x + {\sin ^2}x.{\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x.{\rm{sin}}x - 1 - {\rm{sin}}2x + 2m\)

\( = \left( {{\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x} \right) + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x\left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right) - \left( {1 + {\rm{sin}}2x} \right) + 2m\)

\( = \left( {{\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x} \right) + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x\left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right) - {({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x)^2} + 2m\)

\( = \left( {{\rm{cos}}x + {\rm{sin}}x} \right)\left[ {1 + {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x - \left( {{\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right)} \right] + 2m\)

Đặt \(t = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x,t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow y\left( t \right) = t\left( {1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - t} \right) + 2m = \frac{{{t^3}}}{2} - {t^2} + \frac{1}{2}t + 2m\)

Xét hàm số: \(h\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{2} - {t^2} + \frac{1}{2}t\)

Theo bài ta có:

\({f^2}\left( x \right) \le 36,\forall x \Leftrightarrow \left| {y\left( t \right) + 2m} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right) + 2m \le 6}\\{h\left( t \right) + 2m \ge  - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h\left( t \right) \le 6 - 2m}\\{h\left( t \right) \ge  - 6 - m}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} - 2t + \frac{1}{2},h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m}\\{h(t) \ge  - 6 - m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} h(t) \le 6 - m}\\{\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} h(t) \ge  - 6 - m}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3\sqrt 2  - 4}}{2} \le 6 - m}\\{\frac{{ - 4 - 3\sqrt 2 }}{2} \ge  - 6 - m}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le \frac{{16 - 3\sqrt 2 }}{2}}\\{m \ge \frac{{ - 8 + 3\sqrt 2 }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \frac{{ - 8 + 3\sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{16 - 3\sqrt 2 }}{2}} \right.\)

Mà \(m\) nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\)