Sau nhà ông Sơn có mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều rộng AB = 5 (mét) và chiều dài AD = 6 (mét). Ông Sơn dự định dùng mảnh đất này để trồng rau sạch nên thiết kế mái che phẳng và dốc về g
16/22
Sau nhà ông Sơn có mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều rộng \(AB = 5\) (mét) và chiều dài \(AD = 6\) (mét). Ông Sơn dự định dùng mảnh đất này để trồng rau sạch nên thiết kế mái che phẳng và dốc về góc đỉnh \(F\). Mái lợp \(EFGH\) đặt trên bốn trụ \(AE,BF,CG\) và \(DH\) đều vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trong đó \(DH = 5\) (mét), \(CG = 4\) (mét) và \(AE = 3\) (mét). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có đơn vị trên mỗi trục là mét (m) như hình vẽ.
[VD] Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) có dạng \[ax + bycz - 150 = 0\]. Khi đó \(a + b + c = 23\).
[NB] Điểm \(A\left( {6;0;0} \right)\).
[VD] Giá một \({m^2}\) lưới chống nắng là \(12000\) đồng. Khi đó, số tiền ông Sơn mua lưới lợp mái \(EFGH\) là \(386\) nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng).
[VD,VDC] Ông Sơn cần lắp đặt dây từ điểm \(I\)nằm trên cạnh \(AB\) và cách \(B\)một mét đến điểm \(M\)nằm trên cạnh \(BC\), đến điểm \(N\) nằm trên cạnh \(CG\), đến điểm \(P\) nằm trên cạnh \(DH\) và đến điểm \(E\). Biết dây luôn áp sát vào các mặt, độ dài ngắn nhất của dây là \(\sqrt {305} \) (m).
Chọn a) Sai | b) Đúng| c) Đúng | d) Đúng
a) Ta có \(E\left( {6;0;3} \right)\), \(H\left( {0;0;5} \right)\) và \(G\left( {0;5;4} \right)\). \[\]
Suy ra \(\overrightarrow {EH} = \left( { - 6;0;2} \right)\); \(\overrightarrow {EG} = \left( { - 6;5;1} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {EFGH} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right] = \left( { - 10; - 6; - 30} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) là: \(10\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 30\left( {z - 5} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 10x + 6y + 30z - 150 = 0\).
Do đó: \(a + b + c = 10 + 6 + 30 = 46\).
Chọn SAI.
b) Điểm \(A \in Ox\)\( \Rightarrow A\left( {6;0;0} \right)\).
Chọn ĐÚNG.
c) Ta có \(B\left( {6;5;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Tọa độ điểm \(F\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = t}\end{array}}\\{10x + 6y + 30z - 150 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\{x = 6}\end{array}}\\{y = 5}\end{array}}\\{z = 2}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow F\left( {6;5;2} \right)\).
Có \(\overrightarrow {EH} = \left( { - 6;0;2} \right)\), \(\overrightarrow {EG} = \left( { - 6;5;1} \right)\) và \(\overrightarrow {EF} = \left( {0;5; - 1} \right)\).
Suy ra \({S_{EFGH}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {EG} } \right]} \right| + \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {EG} ,\overrightarrow {EF} } \right]} \right|\)
\( = \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}} + \frac{1}{2}\sqrt {{{10}^2} + {6^2} + {{30}^2}} = 2\sqrt {259} \).
Số tiền ông Sơn cần dùng để mua lưới lợp là
\(2\sqrt {259} \times 12000 \approx 386000\)(đồng).
Chọn ĐÚNG.
d) Ta thực hiện trải hình như sau
Suy ra \(EI = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {6 + 5 + 6} \right)}^2}} = \sqrt {305} \).
Chọn ĐÚNG.