Sau một giờ bơm, tốc độ dâng lên của mực nước trong bể là bao nhiêu m/phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Gọi \(t\) (phút) là thời gian bơm nước vào bể, thể tích nước trong bể là \(V\left( t \right) = 5t\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Khi \(t = 20\), nước dâng lên hết phần \(\left( I \right)\)là phần hình hộp chữ nhật ở đáy có thể tích \(100{m^3}\).

Khi \(t > 20\), nước dâng lên trong phần \(\left( {II} \right)\)- phần hình chóp cụt tứ giác đều.

Gọi \({V_2}\left( t \right)\) là thể tích phần nước trong phần\(\left( {II} \right)\) \( \Rightarrow {V_2}\left( t \right) = 5t - 100\).

Mặt khác, ta xét phần \(\left( {II} \right)\)là phần hình chóp cụt tứ giác đều có chiều cao \(h = {h_2} - {h_1}\), cạnh đáy là \(a\) và \(10\) (tham khảo hình vẽ).

Có \(\frac{{{h_1}}}{{10}} = \frac{{{h_2}}}{a} = \frac{{{h_3}}}{{15}}\) mà \({h_3} - {h_1} = 3\) (do chiều cao của bể chứa phần \(\left( {II} \right)\)là 3).

\( \Rightarrow h = \frac{3}{5}a - 6\).

Khi đó theo công thức tính thể tích khối chóp cụt: \({V_2} = \frac{h}{3}\left( {{a^2} + 10a + 100} \right)\)

Thay \(h = \frac{3}{5}a - 6\) ta được \({V_2} = \frac{{\left( {a - 10} \right)\left( {{a^2} + 10a + 100} \right)}}{5} = \frac{1}{5}{a^3} - 200\).

Mà \({V_2}\left( t \right) = 5t - 100 = \frac{1}{5}{a^3} - 200 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{25t + 500}}\).

Ta viết lại \(h\left( t \right) = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{25t + 500}} - 6\) là hàm chiều cao của nước trong bể với \(t > 20\).

Vậy sau 60 phút, tốc độ dâng lên của nước trong bể là \(h'\left( {60} \right) \approx 0,03\). Chọn C.