Sau khi làm sạch, người ta bơm nước vào một bể bơi. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng nước trong bể bơi sau t (phút) bơm được cho bởi công thức
21/22
Sau khi làm sạch, người ta bơm nước vào một bể bơi. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng nước trong bể bơi sau \(t\) (phút) bơm được cho bởi công thức
\(V\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {32{t^3} - {t^4}} \right)\) với \(0 \le t \le 20\).
Khi nước được bơm vào bể bơi, tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\) được xác định bởi công thức \(V'\left( t \right)\) với \(0 \le t \le 20\). Hỏi tốc độ bơm nước tăng trong bao nhiêu phút kể từ khi bắt đầu bơm nước vào bể bơi?
Đáp số: ___
Tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\) là đạo hàm bậc nhất của thể tích theo thời gian:
\(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {96{t^2} - 4{t^3}} \right)\).
Để biết tốc độ bơm nước tăng trong khoảng thời gian nào, ta xét đạo hàm của hàm vận tốc \(v\left( t \right)\) (tức là gia tốc bơm): \(v'\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {192t - 12{t^2}} \right)\).
Tốc độ bơm tăng khi và chỉ khi \(v'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow \)\(\frac{2}{9}\left( {192t - 12{t^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow 12t\left( {16 - t} \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 16\).
Như vậy, kể từ lúc bắt đầu bơm (\(t = 0\)) cho đến phút thứ \(16\), tốc độ bơm liên tục tăng.
Vậy tốc độ bơm nước tăng trong 16 phút.
Đáp số: 16.