Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy

Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ \(A\left( {23;18;2} \right)\) máy bay thứ hai có tọa độ \(B\left( { - 22; - 27;3} \right)\).

Gọi \(M\) là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là \(M \in mp\left( {Oxy} \right)\) nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M\left( {a;b;0} \right)\).

Ta cần tìm tọa độ của \(M\) để \(MA + MB\) nhỏ nhất.

Ta thấy \(A,B\) nằm cùng phía đối với \(mp\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(B'\left( { - 22; - 27; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(mp\left( {Oxy} \right) \Rightarrow MB = MB'\).

Có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Khi đó \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(AB'\) khi \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với \(mp\left( {Oxy} \right)\) nghĩa là lúc này ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 23;b - 18; - 2} \right),\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 45; - 45; - 5} \right)\) mà ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Suy ra \(\frac{{a - 23}}{{ - 45}} = \frac{{b - 18}}{{ - 45}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = 5;b = 0 \Rightarrow M\left( {5;0;0} \right)\).

Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và \(OM = 5\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Đáp án: 5.