Sân vận động Sport Hub – Singapore là sân vận động có mái vòm được chọn để tổ chức lễ bế mạch đại hội thể thao Đông Nam Á năm 2015. Nền sân phẳng là một hình elip (E) có độ dài trục lớn 150 m

Lời giải

Đáp án: 232

Gán vào mặt sân vận động hệ trục \(Oxy\) sao cho trục \(Ox\) trùng với trục lớn của elip và trục \(Oy\) trùng với trục bé của elip (tham khảo hình vẽ).

Khi đó, ta có phương trình của \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\)

Khi cắt sân vận động bằng một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) thu được thiết diện là mảnh tròn (miền giới hạn bởi cung nhỏ \(AB\)và dây cung \(AB\)).

Ta có \(AB = 2{y_A} = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)}  = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} .\)

Do \(\Delta IAB\) vuông cân tại \(I\) nên \(R = IA = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} .\)

Diện tích thiết diện \(S(x) = \frac{1}{4}{S_{Htron}} - {S_{IAB}} = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{8}\left( {\pi  - 2} \right).\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\)

Thể tích phần không gian trong sân vận động

\(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {S(x)dx}  = \frac{{{{90}^2}}}{8}\left( {\pi  - 2} \right)\int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{75}}} \right)dx}  = 101250\left( {\pi  - 2} \right)\,\,\,({m^3}).\)

Số máy điều hoàn cần dùng \(N = \frac{V}{{500}} = \frac{{101250\left( {\pi  - 2} \right)}}{{500}} = 231,17.\)

Vậy các kĩ sư cần dùng tối thiểu 232 máy điều hòa.