Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O\). Một nhóm học sinh lớp \(12\) được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định thiết kế bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\)
28/50
Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O\). Một nhóm học sinh lớp \(12\) được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định thiết kế bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\) . Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng \(4{\rm{m}}\). Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là \(150000\) đồng\(/1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), kinh phí để trồng cỏ là \(100000\) đồng\(/1{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Số tiền nhà trường cầnđể trồng bồn hoa đó gần với giá trị nào nhất?
\(6060000\) đồng.
\(3000000\) đồng.
\(5790000\) đồng.
\(3270000\) đồng.
Gọi \(O\) là giao điểm của hai pararol, ta đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, khi đó phương trình hai parabol lần lượt là \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\).
Do hình vuông \(ABCD\) cạnh \(4{\rm{m}}\) nên đường chéo \(BD = 4\sqrt 2 \).
Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = \frac{{BD}}{2} = 2\sqrt 2 {\rm{m}}\) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = 8\) suy ra hai nửa đường tròn có phương trình là \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = - \sqrt {8 - {x^2}} \).
Từ đó suy ra diện tích \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \approx 7,62\) \( = {S_2}\),
diện tích \({S_3} + {S_4} = \pi {R^2} - 2\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \approx 9,9\).
Ta có số tiền cần dùng để trồng bồn hoa là \(150000\left( {{S_1} + {S_2}} \right) + 100000\left( {{S_3} + {S_4}} \right) \approx \) \(3270000\). Chọn D.