Sân quần vợt được mô hình hóa lý tưởng, có chiều dài 24 m và chiều rộng 10 m. Các ô giao bóng dài 6 m, rộng 5 m và chiều cao của lưới là 1 m. Giả sử, mọi cú đánh đều bay theo đường thẳng.
21/22
Sân quần vợt được mô hình hóa lý tưởng, có chiều dài \(24\)m và chiều rộng \(10\)m. Các ô giao bóng dài \(6\)m, rộng \(5\)m và chiều cao của lới là 1m. Giả sử, mọi cú đánh đều bay theo đường thẳng. Một vận động viên đứng ở vạch cuối sân tại điểm \(P\left( {3;24;0} \right)\) và đánh quả bóng với vận tốc \(144\) km/h ở độ cao \(3,1\)m sao cho bóng rơi đúng vào điểm \(T\left( {5;6;0} \right)\) của ô giao bóng. Sau khi chạm đất, bóng phản xạ theo góc \(\alpha \) (giữ nguyên vận tốc, không đổi hướng ngang) và tại vị trí \(K\) trên vạch cuối sân bên kia đối thủ sẽ đánh trả. Tính thời gian đối thủ có để phản ứng được tính từ lúc bóng nảy lên khỏi mặt saan đến khi bóng tới vị trí đánh theo đơn vị giây? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Quỹ đạo từ \(A\) đến \(T\):\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 24 - 18t}\\{z = 3,10 - 3,1t}\end{array}\quad \left( {0 \le t \le 1} \right)} \right.\] (hướng \(\vec v = \left( {2; - 18; - 3,1} \right)\))
Sau nảy bóng thì phản xạ giữ nguyên vận tốc, không đổi hướng ngang
Hướng mới \(\overrightarrow {v'} = \left( {2; - 18;3,1} \right)\) nên phương trình mới của quả bóng là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2s\\y = 6 - 18s\\z = 3,1s\end{array} \right.,(s \in \mathbb{R})\)
Điểm \(K\) trên vạch cuối sân bên kia thuộc mặt phẳng \(y = 0\)
Suy ra: \(6 - 18s = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{3} \Rightarrow K\left( {\frac{{17}}{3};0;\frac{{31}}{{30}}} \right)\)
Quãng đường \(TK = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{3} - 5} \right)}^2} + {6^2} + {{\left( {\frac{{31}}{{30}}} \right)}^2}} = \frac{{7\sqrt {689} }}{{30}}\)
Vận tốc \(144\;\)(km/h)\( = 40\)(m/s) nên thời gian đối thủ có để phản ứng: \(t = \frac{{TK}}{{40}} \approx 0,15\)(giây)