$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 20)$

a) Xét tứ giác $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 21)$ , có:

$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 22)$ $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 23)$ thuộc đường tròn đường kính $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 24)$

$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 25)$ $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 26)$ thuộc đường tròn đường kính $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 27)$ .

Do đó bốn điểm $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 28)$ thuộc đường tròn đường kính $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 29)$ .

Vậy bốn điểm $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 30)$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 31)$ có $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 32)$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 33)$ và $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 34)$ Suy ra $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 35)$ vuông tại \[C.\]

Xét $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 36)$ và $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 37)$ có $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 38)$ (vì $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 39)$ ).

Xét tam giác vuông $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 40)$ có: $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 41)$ nên $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 42)$ .

Suy ra: $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 43)$ (cùng phụ $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 44)$ ).

Suy ra: $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 45)$

Do đó: $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 46)$ , suy ra: $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 47)$ .

Vì \(AM \bot d\,;\,\,OC \bot d\) nên \[AM\,{\rm{//}}\,OC\] suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\).

Ta có $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 48)$ suy ra $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 49)$ cân tại O

Suy ra \(\widehat {CAO} = \widehat {ACO}\) mà \(\widehat {MAC} = \widehat {ACO}\) nên \(\widehat {CAO} = \widehat {MAC}\)

Xét $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 50)$ và $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 51)$ có

$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 52)$

$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 53)$ là cạnh chung

$Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 54)$

Suy ra \(\Delta AMC = \Delta AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 55)$

Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta HCB = \Delta CNB\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 56)$

Suy ra $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 57)$

Ta có $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 58)$

Suy ra \(AM.BN \le {R^2}\) nên \[Max\left( {AM \cdot BN} \right) = {R^2}\,\]

Khi $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 59)$ vuông cân tại $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 60)$ .

Khi đó $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 61)$ là điểm chính giữa cung AB.

Vậy $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 62)$ lớn nhất khi $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 63)$ là điểm chính giữa cung $Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn (khác với A, B) kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. Từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng , cắt lần lượt tại \( (ảnh 64)$ .

Rút gọn biểu thức: , với