Rút gọn biểu thức A = cos(2pi/3 − α) + cos(2pi/3 + α) được kết quả là A = k ⋅ cos α với k ∈ Z. Tìm k.

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos a + \cos b = 2\cos \left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)\) ta được:

\(A = 2\cos \left( {\frac{{\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \alpha } \right) + \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \alpha } \right)}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \alpha } \right) - \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \alpha } \right)}}{2}} \right)\)\( = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\cos \left( { - \alpha } \right)\).

Vì \(\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\) và \(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \), ta có: \(A = 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) \cdot \cos \alpha = - 1 \cdot \cos \alpha \).

So sánh với dạng \(A = k \cdot \cos \alpha \), ta suy ra \(k = - 1\).

Đáp số:\( - 1\).