Ta có:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2

x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z

Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz =t2 khi đó ta có

P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=t22+8t=t22+2+8t−2

Áp dụng BĐT Cô si ta có: t22+2≥2t22.2=2t (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

2t+8t≥22t.8t=8 (dấu bằng xảy ra khi t = 2)

P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6

Rút gọn biểu thức A = căn bậc hai của 2 + căn bậc hai của 18