Media VietJack

a) Do \(D\) thuộc đường tròn đường kính \(IC\) nên \(\widehat {IDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó \(\Delta BDC\) vuông tại \(D\) nên \(B,D,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Tương tự \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B,A,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Vậy tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

b) Xét \(\Delta IDC\) và \(\Delta IAB\) có

\(\widehat {DIC} = \widehat {AIB}\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {CDI} = \widehat {IAB} = 90^\circ \)

Do đó \(\Delta IDC\)\(\Delta IAB\) (g.g)

Nên \(\frac{{ID}}{{IA}} = \frac{{IC}}{{IB}}\) hay \(IA.IC = IB.ID\)

c) Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(IC = \frac{1}{2}AC = 2\) (cm)

Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) suy ra \(BC = 5\) (cm)

Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(BC\) với đường tròn tâm \(O\)

Xét \(\Delta KBC\) có \(BD,CA\) là đường cao cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta KBC\)

Khi đó \(KI \bot BC\)

Lại có \(E\) thuộc đường tròn tâm \(O\) nên \(\widehat {IEC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay \(IE \bot BC\)

Vậy \(K,I,E\) thẳng hàng

Xét \(\Delta CIE\) và \(\Delta CBA\) có

\(\widehat {ACB}\) góc chung

\(\widehat {CEI} = \widehat {CAB} = 90^\circ \)

Nên \(\Delta CBA\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{IE}}{{AB}}\) hay \(IE = \frac{{CI.AB}}{{CB}} = \frac{{2.3}}{5} = \frac{6}{5}\) (cm)

Khi đó \(C{E^2} = C{I^2} - I{E^2} = {2^2} - {\left( {\frac{6}{5}} \right)^2} = \frac{{64}}{{25}}\) hay \(CE = \frac{8}{5}\) (cm)

Suy ra \(BE = BC - CE = 5 - \frac{8}{5} - \frac{{17}}{5}\) (cm)

Ta có \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\)

Mà \(\tan \widehat {KBE} = \frac{{KE}}{{BE}} = \tan \widehat {ABC} = \frac{4}{3}\) nên \(KE = \frac{4}{3}.BE = \frac{4}{3}.\frac{{17}}{5} = \frac{{68}}{{15}}\) (cm)

Vậy \(IK = KE - IE = \frac{{68}}{{15}} - \frac{6}{5} = \frac{{10}}{3}\) (cm)

Rút gọn biểu thức A = căn bậc hai 100 + 3 căn bậc hai 8 − 2 căn bậc hai 18 .