Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). (ảnh 1)

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Khi đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

⇒ SB,ABCD=SB,OB=SBO^=60°

Gọi M là trung điểm BC, dựng OH ⊥ SM

Ta có: OM ⊥ BC (vì OM là đường trung bình trong tam giác ABC nên OM // AB, mà AB ⊥ BC)

Ta có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC

Suy ra: BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ OH

Mà OH ⊥ SM

Nên OH ⊥ (SBC) hay d(O, (SBC)) = OH

AO ∩ (SBC) = {C} nên dA,SBCdO,SBC=ACOC=2

Hay d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH (*)

ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=a2⇒BO=a22

OM=12AB=a2

Lại có: SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OB nên tam giác SOB vuông tại O

Suy ra: SO = OB.tan60° = a22.tan60 °=a62

Xét trong tam giác SOM vuông tại O, có OH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng và Pytago trong tam giác vuông có: SO.OM = OH.SM

⇒ OH=SO.OMSO2+OM2=a62.a2a622+a22=a4214

Từ (*) suy ra: d(A, (SBC)) = 2OH = a427.

Rút gọn biểu thức: A = 1 + sin2a.