a) Với \(n\) là số nguyên, \(A = \frac{{4n + 5}}{{5n + 3}}\) là số nguyên khi \[\left( {4n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right)\] nên \[5\left( {4n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right).\]

Suy ra \[\left[ {4\left( {5n + 3} \right) + 13} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right)\]

Do đó \(5n + 3 \in \)Ư\(\left( {13} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,13;\,\, - 13} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\(5n + 3\)	1	\[ - 1\]	13	\[ - 13\]
\[n\]	\( - \frac{2}{5}\)	\( - \frac{4}{5}\)	2	\( - \frac{{16}}{5}\)
\(A\)			1
Kết luận	Loại	Loại	Thỏa mãn	Loại

Vậy với \[n = 2\]thì \[A\] nguyên.

b) Đặt \(B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,021}}.\)

Suy ra \(2B = {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,022}}.\)

Do đó:

\(2B - B = \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,022}}} \right) - \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,021}}} \right)\)Hay \(B = {2^{2\,\,022}} - 2.\)

Theo bài, \({\left( {x - 2} \right)^6} = 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}}\)

Suy ra \({\left( {x - 2} \right)^6} = {2^{2022}}\) nên \(x - 2 = {2^{337}}\)hoặc \(x - 2 = - {2^{337}}\)

Do đó \(x = {2^{337}} + 2\)hoặc \[x = - {2^{337}} + 2.\]

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng d