Phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) (với a; b là các số nguyên) có một nghiệm là

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) (1).

Không mất tính tổng quát, giả sử \({x_1} = 5 + \sqrt {21} \) và \({x_2}\) là nghiệm còn lại.

Thay \(x = {x_1} = 5 + \sqrt {21} \) vào (1) ta được:

  \({\left( {5 + \sqrt {21} } \right)^2} + a\left( {5 + \sqrt {21} } \right) + b = 0\)

                          \( \Leftrightarrow 46 + 10\sqrt {21} + 5a + \sqrt {21} a + b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + 10} \right)\sqrt {21} + \left( {5a + b + 46} \right) = 0\)

Vì a; b là các số nguyên nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 10 = 0}\\{5a + b + 46 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 10}\\{b = - 46 - 5a}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 10}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra phương trình (1) là \({x^2} - 10x = 4 = 0.\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta được:

\({x_1} + {x_2} = 10 \Rightarrow \left( {5 + \sqrt {21} } \right) + {x_2} = 10 \Rightarrow {x_2} = 5 - \sqrt {21} \).

Vậy nghiệm còn lại là \(x = 5 - \sqrt {21} \).