Phương trình x 3 − 3 x 2 + ( 2 m − 2 ) x + m − 3 = 0 có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn x 1 < − 1 < x 2 < x 3 khi và chỉ khi

65/120

Phương trình\[{x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3 = 0\]có ba nghiệm\[{x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\] thỏa mãn \[{x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}\] khi và chỉ khi

\[m > - 5\].

\[m < - 5\].

\[m \le - 5\].

\[m < - 6\].

Giải thích

Đặt \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + \left( {2m - 2} \right)x + m - 3\]. Ta thấy hàm số liên tục trên\[\mathbb{R}\].

Điều kiện cần: \[af\left( { - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5\].

Điều kiện đủ: với \[m < - 5\] ta có

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \] nên tồn tại\[k < - 1\] sao cho \[f\left( k \right) < 0\].

Mặt khác \[f\left( { - 1} \right) = - m - 5 > 0\]. Suy ra \[f\left( k \right) \cdot f\left( { - 1} \right) < 0\].

Do đó tồn tại \[{x_1} \in \left( {k;\,\, - 1} \right)\] sao cho \[f\left( {{x_1}} \right) = 0\].

+) \[f\left( 0 \right) = m - 3 < 0,\,\,f\left( { - 1} \right) > 0\]. Suy ra \[f\left( 0 \right) \cdot f\left( { - 1} \right) < 0\]

Do đó tồn tại \[{x_2} \in \left( { - 1;\,\,0} \right)\] sao cho \[f\left( {{x_2}} \right) = 0\].

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \] nên tồn tại \[h > 0\] sao cho \[f\left( h \right) > 0\].

Mặt khác \[f\left( 0 \right) < 0\]. Suy ra \[f\left( 0 \right) \cdot f\left( h \right) < 0\].

Do đó tồn tại \[{x_3} \in \left( {0;\,\,h} \right)\] sao cho \[f\left( {{x_3}} \right) = 0\].

Vậy \[m < - 5\] thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.