Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng − 2 là:

Gọi \({\rm{M}}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) mà \({y_0} = - 2\).

Khi đó \(\frac{{{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}} = - 2 \Rightarrow {x_0} + 1 = - 2\left( {{x_0} - 2} \right) \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {\rm{M}}\left( {1; - 2} \right)\).

Ta có \({\rm{y'}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\), suy ra \({\rm{y'}}\left( 1 \right) = - 3\).

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) tại \(M\left( {1; - 2} \right)\) là:

\(y = - 3\left( {x - 1} \right) - 2 = - 3x + 1\). Chọn C.