Phương trình sinx+cosx=1-1/2 sin2x có nghiệm là

15/51

Phương trình sinx+cosx=1-12sin2x có nghiệm là:

x=π6+kπ2 hoặc x=kπ4, k∈ℤ

x=π8+kπ2 hoặc x=kπ2, k∈ℤ

x=π4+kπ hoặc x=kπ, k∈ℤ

x=π2+k2π hoặc x=k2π, k∈ℤ

Giải thích

Xét phương trình: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + c{\rm{os}}x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\)

Đặt t = sinx + cosx \(\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)

⇒ t² = 1 + 2sinxcosx

⇔ t² – 1 = sin2x

Khi đó, phương trình trở thành: \(t = 1 - \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 1} \right)\)

⇔ - t² + 2t – 3 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1(TM)\\t = - 3\left( L \right)\end{array} \right.\)

Với t = 1 thì sinx + cosx = 1

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn D