a) (0,75 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: \(y = \frac{{\tan x + 1}}{{\sin x}} + \cos (x + \frac{\pi }{3})\)

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\]

Vậy TXĐ: \[D = \left\{ {x \in \mathbb{R};x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\]

b) (0,75điểm) Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\] biết \[\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \].

Ta có:

\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{25}}{{169}}\]

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\\\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\end{array} \right.\]

Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \cos \alpha > 0\] nên \[\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\].

Lại có\[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha \]

\[ = \frac{5}{{13}}\cos \frac{\pi }{3} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\sin \frac{\pi }{3}\]

\[ = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\]

c) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

Ta có \(A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}\)

\( = \frac{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos x + \cos {\rm{2}}x}}\)

\( = \frac{{\sin 2x(2\cos x + 1)}}{{\cos 2x(2\cos x + 1)}}\)

\( = \tan 2x\)

Phương trình sin x = sin α có các nghiệm là