Phương trình sin x = cos x có số nghiệm thuộc đoạn [ − π ; π ] là

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).

Vậy trong \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)phương trình có hai nghiệm.

Chú ý: \(\sin x = \cos x \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)