a) Thời điểm bắt đầu dao động thì t = 0. Khi đó \(h = \left| {3\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right| = \frac{3}{2}\).

b) Có \(x = \frac{3}{2}\) nên \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2t - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \\t = k\pi \end{array} \right.\).

Vì \(0 \le t \le 5\) nên \(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 5\\0 \le k\pi \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{\pi } - \frac{1}{3}\\0 \le k \le \frac{5}{\pi }\end{array} \right.\).

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0;k = 1\).

Với \(k = 0\) thì \(t = 0\); \(t = \frac{\pi }{3}\). Với \(k = 1\) thì \(t = \pi ;t = \frac{{4\pi }}{3}\).

Vậy có 4 thời điểm mà \(x = \frac{3}{2}\).

c) Vật đi qua vị trí cân bằng khi \(3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}\).

Vì \(0 \le t \le 10\) nên \(0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2} \le 10\)\( \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \le k \le \frac{{20}}{\pi } - \frac{5}{6}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây vật đi qua vị trí cân bằng 6 lần.

d) Vật xa vị trí cân bằng nhất khi \(\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \pm 1\)\( \Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\).

Thời điểm đầu tiên để vật cách xa vị trí cân bằng nhất ứng với k = 0. Khi đó \({t_0} = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;1} \right)\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Phương trình nào sau đây có nghiệm?