Phương trình mặt phẳng là:

64/120

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(H\left( {1;3;5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) (khác \(O\))\(\left( P \right)\) sao cho \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Phương trình mặt phẳng là:

\(x + 3y + 5z + 1 = 0\).

\(x + 3y + 5z = 0\).

\[x + 3y + 5z - 1 = 0\].

\(x + 3y + 5z - 35 = 0\).

Giải thích

Phương trình mặt phẳng là: (ảnh 1)

Do \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC \Rightarrow AH \bot BC\).

Mặt khác: \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) (do \(Ox \bot \left( {Oyz} \right)) \Rightarrow OA \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\). Tương tự \(AB \bot OH\).

\( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {1;3;5} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 5z - 35 = 0\). Chọn D.