Phương trình mặt phẳng alpha song song với mặt phẳng

19/22

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 3y + 4z + 5 = 0\) và cách đều 2 điểm \(A\left( {3\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,0\,;\, - 1} \right)\) có dạng \[x + by + cz + d = 0\]. Tính \[b + 2c + 3d\].

Giải thích

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 3y + 4z + 5 = 0\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(\;x - 3y + 4z + d = 0\).

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {3 - 3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3.0 + 4.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {14 + d} \right| = \left| {d - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}14 + d = d - 2\\14 + d = 2 - d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow d = - 6.\end{array}\]

Phương trình mặt phẳng là: \(\;x - 3y + 4z - 6 = 0\).

Vậy \[b + 2c + 3d = - 3 + 2.4 + 3\left( { - 6} \right) = - 13\].