Phương trình mặt phẳng alpha song song với mặt phẳng

18/22

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 2y + 2z - 15 = 0\) và cách điểm \(A\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\)một khoảng bằng \[5\] có dạng \[ax + by + 2z + d = 0\] với \[d\] là một số dương. Tính \[a + b - 2d\].

Giải thích

Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;x - 2y + 2z - 15 = 0\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \[x - 2y + 2z + d = 0\].

Ta có:

\[\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{{\left| {2 - 2.1 + 2.1 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 5\\ \Rightarrow \left| {2 + d} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 13\\d = - 17\end{array} \right..\end{array}\]

Do \[d > 0 \Rightarrow d = 13\]

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \[x - 2y + 2z + 13 = 0\].

Vậy \[a + b - 2d = 1 - 2 - 2.13 = - 27\].