Phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I là

9/35

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{6} = \frac{{z - 1}}{2}\) và điểm \(I\left( {1; - 2;5} \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\), \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\) là

\(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 40\).

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 49\].

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 69\].

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 64\].

Giải thích

Lời giải

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên đường thẳng \(d\) ta có \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\), với \(\overrightarrow {IM} = \left( {1;2; - 4} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {3;6;2} \right)\) nên \(IH = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {20} \).

Theo đề bài ta có tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\) nên \(IA = IH\sqrt 2 = \sqrt {40} \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 40\). Chọn A.