Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2 ; 0 ; 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng d : (x − 1)/ 1 = y/2 = (z − 2)/ 1 là:

42/49

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;0;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\).

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).

\[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\].

Giải thích

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

\(\left( {x - 2} \right) + 2y + \left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(x + 2y + z - 3 = 0\).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

Tọa độ của H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\\x + 2y + z - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {1;0;2} \right)\).

Khi đó bán kính của mặt cầu là \(R = IH = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;0;1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2\). Chọn C.